השערת בְּרֶנָן
מושגים שאת צריכה לדעת:
דִּיסְק היחידה הפתוח - כל הנקודות בתוך עיגול בעל רדיוס 1.
העתקה קונפורמית זה שינוי ששומר על הזוויות אבל לא על האורכים.
לדוגמה: תדמייני שעל המיטה מתוח סדין עם משבצות, ומעליו מונחת שמיכה עם משבצות. עכשיו את מותר לך לעשות איזה שינוי שאת רוצה לשמיכה: לקפל, לגלגל, לסובב, למתוח, אבל בתנאי שהפינות של המשבצות יישארו 90 מעלות (זוויות ישרות).
העתקה קונפורמית זה ה"קיווצ'וץ'". כלומר כלל ההתאמה / פונקציה / "מיפוי" : מאיפה כל נקודה התחילה במצב הישן (הסדין) ואיפה היא סיימה במצב החדש (השמיכה ה"מבולגנת").
הנה הסבר ויזואלי הרבה יותר מגניב (מאירים דרך כדור זכוכית שקוף שיש עליו ציור, והציור מקרין על הרצפה) :
גירסה מקורית עם כיתוב באנגלית:
Moebius Transformations Revealed
jonathanrogness
גירסת רזולוציה גבוהה עם קריינות באנגלית:
Möbius Transformations Revealed [HD]
djxatlanta
מרחב הִשתנוּת Moduli space
אם זה היה תלוי בי אז אני הייתי קורא לזה מרחב הפרמטר - כי זה תרשים של כל האפשרויות שפרמטר מסוים יכול להיות.
הסבר ידידותי עם שתי דוגמאות פשוטות - קווים ומשולשים:
What is a moduli space?
Madeline Brandt
אז עכשיו השערת בְּרֶנָן :
אם לוקחים את כל השטחים "פְּשוּטֵי-הַקֶשֶׁר" (כלומר שאין בהם חורים) במישור המרוכב, שיש להם לפחות שתי נקודות גבול על המישור המרוכב המורחב (המספרים המרוכבים יחד עם נקודת האינסוף),
אם אני מבין נכון, זה כמו לגזור חלקי מפות מתוך האטלס של העולם בתנאי שהם רציפים וכוללים את נקודת הקוטב הצפוני והקוטב הדרומי.
ואז עושים מיפוי קיווצ'וץ' (העתקה קונפורמית) של חלקי המפות האלה לדִּיסְק היחידה הפתוח,
שאם אני מבין נכון, זה לדוגמה לצלם אותם בהקטנה ולהדביק אותם על מטבע.
אז אם ניקח את נגזרת (כלומר קצב השינוי) של המיפוי קיווצ'וץ' הזה,
שאם אני מבין נכון, קצב השינוי זה כמו שהשמיכה תפורה לסדין שמתחתיה, ובכל מקום שאת מושכת את השמיכה מהסדין, נפרם חוט בין שתי הנקודות שמראה כמה הם התרחקו זו מזה.
ואז את לוקחת את מרחב ההשתנות ("מרחב הפרמטר"), כלומר שרטוט כל האפשרויות שיש לנגזרת (החוטים הפרומים) להיות.
ואז את מעלה את זה (את השרטוט) בחזקה של מספר קטן (בין אחד ושליש לבין ארבע),
שזה בערך כמו ליצור מהשרטוט צורה עם מימד גבוה יותר, כמו לנפח עיגול לבלון או ריבוע לקוביה.
אז אם נסכום את כל השרטוטים האלה שניפחנו אותו לרב-מימדיים, אז הסכום של השטח שלהם יהיה סופי.
(וזה נכון לכל סוג של "קיווצ'וץ' של המפות, קיפול, מתיחה, וכו' בתנאי שהזוויות שעל המפה נשמרות כמו קודם).