קורס: בעיות בלתי פתורות במתמטיקה

מבוא

לוח הודעות פורום
מאז תקופת הרֶנֶסָנְס, כל מֵאָה (תקופה של מאה שנים) חזתה בפתרונן של יותר בעיות מתמטיות מאשר המאה הקודמת לה, אבל עדיין רבות מן הבעיות המתמטיות, הן ראשיות והן משניות, עדיין נותרו בלתי פתורות.
בעיות בלתי פתורות אלו מתרחשות במספר תחומים ובכללם פיזיקה, מדעי המחשב, אָלְגֶבְּרָה, אָנָלִיזָה, קוֹמְבִּינָטוֹרִיקָה, גֶיאוֹמֶטְרִיָה אָלְגֶבְּרִית, גיאומטריה דִיפְרֶנְצְיָאלִית, גיאומטריה דִיסְקְרֶטִית וגיאומטריה אוֹקלִידִית, תורת הגְרָפִים, תורת החֲבוּרוֹת, תורת המוֹדֶלִים, תורת המִסְפָּרים, תורת הקבוצות ותורת רָמְזֶי, מערכות דִינָמִיוֹת, משוואות דִיפְרֶנְצְיָאלִיוֹת חֶלקִיוֹת, ועוד.
חלק מהבעיות עשויות להשתייך ליותר מאשר דִּיסְצִיפְּלִינָה (תחום של מחקר או ידע) מתמטית אחת, ועשויות להיחקר תוך שימוש בטכניקות משטחים שונים.
פרסים מוענקים לעיתים קרובות עבור פתרון לבעיה ישנה-נושנה, והרשימות של בעיות בלתי פתורות (כגון רשימת בעיות פרס המילניום) זוכות לתשומת לב נכבדה.

המאמר הזה הוא תִּרְכֹּבֶת (צֵרוּף) של בעיות בלתי פתורות ראויות לציון, שהופקה ממקורות רבים, הכוללים אבל לא מוגבלים לרשימות שנחשבות ברות סמכה.
הוא לא מתיימר להיות מַקִּיף, הוא עשוי לא תמיד להיות מעודכן, והוא כולל בעיות שנחשבות על ידי הקהילה המתמטית כבעלות מגוון נרחב הן מבחינת הקושי והן מבחינת המרכזיות למדע בכללותו.

1. רשימות של בעיות בלתי פתורות במתמטיקה

מתמטיקאיות ואירגונים שונים פירסמו וקידמו רשימות של בעיות מתמטיות בלתי פתורות. בחלק מהמקרים, הרשימות שוייכו לפרסים עבור המגלות של הפתרונות.

רשימה	מספר הבעיות	מספר הלא פתורות או לא פתורות בשלמותן	הוצעה על ידי	הוצעה בשנת
הבעיות של הילברט	23	15	דֶיוִויד הִילְבֶּרְט	1900
הבעיות של לנדאו	4	4	אֶדְמוֹנְד לָנְדָאוּ	1912
הבעיות של טניאמה	36	-	יוּטָקָה טָנִיָאמָה	1955
24 השאלות של ת'ורסטון	24	-	וִילְיָאם ת'וֹרְסְטוֹן	1982
הבעיות של סמייל	18	14	סְטֶפֶן סְמֶיְיל	1998
בעיות פרס המילניום	7	6	מכון קְלֶיי למתמטיקה	2000
הבעיות של סיימון	15	פחות מ-12	בֶּארִי סָיְימוֹן	2000
בעיות בלתי פתורות במתמטיקה למאה ה-21	22	-	גָ'אִיר מִינוֹרוֹ אֶיְיבּ, שוֹטָרוֹ טָנָאקָה	2001
אתגרי המתמטיקה של דארפא	23	-	דָארְפָּא	2007

1.1 בעיות פרס המִילֶנְיוּם


מתוך הקבוצה המקורית של שבע בעיות פרס המילניום שנקבעה על ידי מכון קְלֶיי למתמטיקה בשנת 2000, שש עדיין לא נפתרו נכון למאי 2021: השערת בִּירְץ' וסְוִוינֶרְטוֹן-דְיֶיר השערת הוֹדְג' קיוּם וחָלָקוּת של משוואות נָאוְויֶה-סְטוֹקְס בעיית P לעומת NP השערת רִימָן קיוּם ופער מָסָה של תורת יָאנְג-מִילְס הבעיה השביעית, השערת פּוּאָנְקָרֶה, נפתרה; יחד עם זאת, יש הַכְלָלָה שלה שנקראת השערת פואנקרה הארבע-מימדית החָלָקָה - כלומר, האם כדור טוֹפּוֹלוֹגִי ארבע-מימדי יכול שיהיו לו שניים או יותר מבנים חָלָקִים לא שְקוּלִים זה לזה - וההַכְלָלָה הזאת עדיין לא נפתרה.	פוּנְקצייָת זֶטָא של רִימָן היא הנושא של הבעיה המהוללת ורבת ההשפעה הידועה בשם השערת רִימָן.

פוּנְקצייָת זֶטָא של רִימָן אלבום תמונות

2. בעיות לא פתורות

2.1 אָלְגֶבְּרָה


גֶרְהָרְד זָאוּנֶר העלה השערה שהמבנים האנלוגיים קיימים במרחבי הילברט (הכללה של המישור הדו-מימדי הגיאומטרי והמרחב התלת מימדי הגיאומטרי למימדים יותר גבוהים כך שעדיין אפשר להשתמש באלגברה לינארית וחדו"א, אפילו כאשר יש אינסוף מימדים) מרוכבים של כל המימדים הסופיים.
	כאשר קְיוּבִּיט (סִיבִית קְוָונְטִית, אבני הבניין של מחשב קְוָונְטִי, היא יכולה להיות אפס או אחד או כל ערך ביניהם), מיוצגת על ידי סְפֶירָת (כדור) בְּלוֹךְ* אז "המדידה הקוונטית הסטנדרטית" (SIC-POVM) היא בצורת טֶטְרָהֶדְרוֹן (פירמידה משולשת) חסום בתוך כדור * טריק שהמציא הפיזיקאי פֶלִיקְס בְּלוֹךְ כדי לתאר את המצב של קְיוּבִּיט במקום על ידי 4 מספרים [החלק הממשי והחלק המדומה של האַמְפְּלִיטוּדָה (מִשְׂרַעַת) הראשונה ("עד כמה הקְיוּבִּיט היא אפס") והשנייה ("עד כמה הקְיוּבִּיט היא אחד") ], בלוך השתמש בקואורדינטות כדוריות ואז הצליח לעשות זאת על ידי 3 מספרים [הרָדְיוּס של האַמְפְּלִיטוּדָה הראשונה, הרָדְיוּס של האַמְפְּלִיטוּדָה השנייה, וההפרש בין הפָאזוֹת של שתי האַמְפְּלִיטוּדָוֹת]; ואז הוא עושה את זה במעגל היחידה (מעגל שהרדיוס שלו זה אחד) ואז מספיקים 2 מספרים בלבד: כמו שמספיק קו אורך וקו רוחב כדי לתאר איפה אנחנו על פני כדור הארץ!

טֶטְרָהֶדְרוֹן (פירמידה משולשת) חסום בתוך כדור אלבום תמונות
בעיות מחברת
מחברת דְנֶיסְטֶר (Dnestrovskaya Tetrad) אוספת כמה מאות בעיות לא פתורות באלגברה, במיוחד תורת החוּגִים ותורת המוֹדוּלוּס (תורת המספרים האלגברית).
מחברת אֶרְלָגוֹל (Erlagolskaya Tetrad) אוספת בעיות לא פתורות באלגברה ותורת המוֹדֶלִים.
השערות ובעיות
השערת בִּירְץ'-טֶיְיט
השערת בּוֹמְבְּיֶירִי-לָאנְג
השערת קְרוּזֶאִיקְס
השערת דֶמָזוּרֶה
השערת אֶיְלֶנְבֶּרְג-גָנֶיאָה
השערת פָארֶל-ג'וֹנְס
השערת בּוֹסְט
הבעיה של הצגה (מתמטית) של סריג (מבנה סָדוּר) סופי
השערת גְרִין
עקמומיות-p של גְרוֹתֶנְדִיֶק-כָּץ
השערת הָדָמָרְד
הבעיה החמש עשרה של הִילבֶּרְט
הבעיה השש עשרה של הִילבֶּרְט
השערות הוֹמוֹלוֹגִיוֹת (שיוצרות התאמה בין חבורות לבין צורות למשל) באָלְגֶבְּרָה קוֹמוּטָטִיבִית (שיש בה את פעולת החילוף)
השערת גֶ'ייקוֹבְּסוֹן
השערות קָפְּלָנְסְקִי
השערת קוֹתֶ'ה
השערת קוּמֶר-וָאנְדִיוֶאר
קיוּם של תיבת אוֹיְלֶר מושלמת והשערות לגבי תיבות אוילר שקשורות לזה
השערת פִּירְס-בִּירְקְהוֹף
השערת הבסיס של רוֹתָה
השערת סֶנְדוֹב
השערת סֶר II
השערות הכפל של סֶר
השערה שכמות הנקודות הרציונליות חסומה בצורה אחידה
בעיה פראית - סיווג של זוגות מטריצות n על n תחת צימוד בו-זמני, ובעיות שמכילות סיווג כזה, כמו הרבה בעיות חלוקה למחלקות.
[בעיה פראית - בעיה שיש בה הורדה בו-זמנית של שני אופרטורים לינאריים לצורה קנונית שלהם.
אופרטור לינארי - כלל מיפוי "אחד לאחד ועל" (למשל: לכל תלמידה בכיתה יש כיסא אחד משלה ואין כיסאות ריקים) של עצמים בתוך אותו מרחב.
צורה קנונית - הצורה התקנית כלומר הייצוג הכי פשוט וקל לזיהוי (למשל: רשימה לפי סדר האלף בית של התלמידות). ]
השערת זָרִיסְקִי-לִיפְּמָָָן
השערת זָאוּנֶר - מדידות שהן SIC-POVM קיימות בכל המימדים.
משמעות הראשי תיבות באנגלית זה:

מדידה בעלת ערכי אופרטור חיוביים, שהיא סימטרית ושלמה מבחינת מידע.

2.2 אָנָלִיזָה



הסבר על קבוע אוֹיְלֶר מָסְקֶרוֹנִי

השערות ובעיות
השערת בְּרֶנָן

מושגים שאת צריכה לדעת:

דִּיסְק היחידה הפתוח - כל הנקודות בתוך עיגול בעל רדיוס 1.

העתקה קונפורמית זה שינוי ששומר על הזוויות אבל לא על האורכים.

לדוגמה: תדמייני שעל המיטה מתוח סדין עם משבצות, ומעליו מונחת שמיכה עם משבצות. עכשיו את מותר לך לעשות איזה שינוי שאת רוצה לשמיכה: לקפל, לגלגל, לסובב, למתוח, אבל בתנאי שהפינות של המשבצות יישארו 90 מעלות (זוויות ישרות).

העתקה קונפורמית זה ה"קיווצ'וץ'". כלומר כלל ההתאמה / פונקציה / "מיפוי" : מאיפה כל נקודה התחילה במצב הישן (הסדין) ואיפה היא סיימה במצב החדש (השמיכה ה"מבולגנת").

הנה הסבר ויזואלי הרבה יותר מגניב (מאירים דרך כדור זכוכית שקוף שיש עליו ציור, והציור מקרין על הרצפה) :

גירסה מקורית עם כיתוב באנגלית:
Moebius Transformations Revealed
jonathanrogness

גירסת רזולוציה גבוהה עם קריינות באנגלית:
Möbius Transformations Revealed [HD]
djxatlanta

מרחב הִשתנוּת Moduli space
אם זה היה תלוי בי אז אני הייתי קורא לזה מרחב הפרמטר - כי זה תרשים של כל האפשרויות שפרמטר מסוים יכול להיות.

הסבר ידידותי עם שתי דוגמאות פשוטות - קווים ומשולשים:
What is a moduli space?
Madeline Brandt

אז עכשיו השערת בְּרֶנָן :
אם לוקחים את כל השטחים "פְּשוּטֵי-הַקֶשֶׁר" (כלומר שאין בהם חורים) במישור המרוכב, שיש להם לפחות שתי נקודות גבול על המישור המרוכב המורחב (המספרים המרוכבים יחד עם נקודת האינסוף),
אם אני מבין נכון, זה כמו לגזור חלקי מפות מתוך האטלס של העולם בתנאי שהם רציפים וכוללים את נקודת הקוטב הצפוני והקוטב הדרומי.
ואז עושים מיפוי קיווצ'וץ' (העתקה קונפורמית) של חלקי המפות האלה לדִּיסְק היחידה הפתוח,
שאם אני מבין נכון, זה לדוגמה לצלם אותם בהקטנה ולהדביק אותם על מטבע.
אז אם ניקח את נגזרת (כלומר קצב השינוי) של המיפוי קיווצ'וץ' הזה,
שאם אני מבין נכון, קצב השינוי זה כמו שהשמיכה תפורה לסדין שמתחתיה, ובכל מקום שאת מושכת את השמיכה מהסדין, נפרם חוט בין שתי הנקודות שמראה כמה הם התרחקו זו מזה.

ואז את לוקחת את מרחב ההשתנות ("מרחב הפרמטר"), כלומר שרטוט כל האפשרויות שיש לנגזרת (החוטים הפרומים) להיות.

ואז את מעלה את זה (את השרטוט) בחזקה של מספר קטן (בין אחד ושליש לבין ארבע),
שזה בערך כמו ליצור מהשרטוט צורה עם מימד גבוה יותר, כמו לנפח עיגול לבלון או ריבוע לקוביה.

אז אם נסכום את כל השרטוטים האלה שניפחנו אותו לרב-מימדיים, אז הסכום של השטח שלהם יהיה סופי.

(וזה נכון לכל סוג של "קיווצ'וץ' של המפות, קיפול, מתיחה, וכו' בתנאי שהזוויות שעל המפה נשמרות כמו קודם).
קבוע אוֹיְלֶר מָסְקֶרוֹנִי אלבום תמונות

יחידות הוראה

1.1 בעיות פרס המִילֶנְיוּם

בעיות מחברת

השערות ובעיות

השערות ובעיות